Pertidaksamaan Linear Dengan GRAPHMATICA

Pada kesempatan kali ini, kita akan membahas bagaimana cara menggambar menggunakan GRAPHMATICA, dengan pembahasan Persamaan Linear.

Hal pertama yang harus dilakukan adalah, pastikan Program GRAPHMATICA ada dalam PC anda.

Inilah tampilan awal dari GRAPHMATICA.

1. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan

    2x – y ≤ 1

    3x + y ≤ 14

    x – 3y ≤ -2

    x ≥ 0

    y ≥ 0

Input persamaan 2x – y ≤ 1. (2x–y>=1)

Tanda ≤ dibalik menjadi '>=', karena Himpunan Penyelesaian yang kita cari adalah yang bukan di arsir. 

Lalu enter.

Input persamaan 3x + y ≤ 14. (3x+y>=14). Lalu enter.

Input persamaan x – 3y ≤ -2. (x–3y>=-2). Lalu enter.

Input persamaan x ≥ 0. (x<=0). Lalu enter.

Input persamaan y ≥ 0. (y<=0). Lalu enter.

Kemudian, beri nama. Klik Edit - Annotations (Ctrl+A). Lalu ketik 'A', lalu Place, letakkan pada titik perpotongan garis dimulai dari ujung kiri bawah. Lalu lakukan hal serupa untuk meletakkan titik B, C, D. Terakhir lakukan hal serupa, tetapi sekarang ketik 'HP'. Letakkan titik HP tersebut pada gambar yang tidak di arsir.

Hasil outputnya akan nampak seperti gambar dibawah ini.

2. Menggambar Grafik Fungsi Kuadrat y = x².

Klik View - Point Tables untuk mengetahui titik-titiknya.

Klik Tools - Evaluate untuk mencari nilai absis atau ordinat (x,y) jika salah satunya diketahui.

Hasil outputnya akan nampak seperti gambar dibawah ini.

3. Menghitung Integral atau Luas Daerah di Bawah Kurva Atau yang Berbatasan dengan Dua Kurva y = -x² + 3x, dan y = x.

Input persamaan y=-x²+3x, Lalu enter.

Input persamaan y=x, Lalu enter.

Kemudian hitung integralnya, dengan cara klik Calculus -Integrate.

Pada kolom equations 1, pilih y=-x²+3x. dan pada kolomequations 2, pilih y=x. Lalu Integrate From x, isi dengan nilai 0, dan To x di isi dengan 2. Lalu klik Calculate.

Result adalah hasil/nilai yang dicari.

Hasil outputnya akan nampak seperti gambar dibawah ini.

4. Menentukan Garis Singgung Parabola (Persamaan Garis) dari x² + 2x – 5y – 9 = 0.

Input persamaan x²+2x–5y–9=0. Lalu enter.

Setelah itu, klik Calculus - Draw Tangent. Kemudian klik sembarang titik pada parabola (Misalkan, pada puncak parabola). Lalu akan muncul Draw Tangen Line itulah persamaan singgungnya.

Draw Tangent at x = -1  dan y = -2, berarti kita mencari persamaan garis singgung pada titik (-1, -2). Ini adalah titik singgungnya. Slope adalah kemiringan, sedangkan Tangent Line adalah persamaan garis singgung yang dicari.

Hasil outputnya akan nampak seperti gambar dibawah ini.

Dengan menggunakan persamaan yang sama, kita mencari titik singgung di titik lain. Kemudian klik sembarang titik pada parabola. 

Lalu akan muncul Draw Tangen Line itulah persamaan singgungnya. Draw Tangent at x = -6 dan y = 3, berarti kita mencari persamaan garis singgung pada titik (-6, 3). Ini adalah titik singgungnya. 

Slopenya (-2, 0), dan Tangent Line y = -2x – 9.

Hasil outputnya akan nampak seperti gambar dibawah ini.

CABRI II

Dalam kesempatan kali ini, akan di kupas tuntas bagaimana cara Melukis Garis Singgung dengan menggunakan bantuan perangkat lunak CABRI II. Materi yang akan di bahas antara lain:

1. Garis Singgung Melalui Satu Titik pada Lingkaran.

Buat Lingkaran dengan titik pusat O dan jari-jari OP:

klik circle -> buat lingkaran yang diinginkan

klik label -> O, pada pusat lingkaran

klik segment -> buat garis dari titik O hingga memotong lingkaranklik label -> Q (beri nama pada perpanjangan garis tersebut dengan Q)

klik intersection points -> klik segment OQ dan circle

klik label -> p (beri nama antara OQ dan circle dengan P)

Membuat lingkaran dengan pusat P :

klik intersection points -> klik segment OQ dan circle yang berpusat di P

klik label -> A dan B pada titik potong garis OQ

untuk membuat agar lingkaran P tidak terlihat:

klik hide/show -> klik lingkaran P

klik circle -> buat lingkaran yang berpusat di B (r=AB) dan lingkaran yang berpusat di A (r=AB)

klik intersection points -> klik lingkaran B dan lingkaran A 

klik label -> beri nama R dan S pada kedua titik potong tersebut

klik hide/show -> klik lingkaran A dan B

klik segment -> dari titik R ke S

Maka garis RS merupakan garis singgung melalui satu titik pada lingkaran

2. Garis Singgung Melalui Titik di Luar Lingkaran

klik circle -> buat lingkaran -> klik label -> beri nama O pada pusat lingkaran

klik point -> buat titik -> klik label -> beri nama P pada titik tersebut

klik segment -> hubungkan titik O dan P

klik midpoint -> klik garis OP

klik label ->Q pada titik tengah garis OP

klik circle -> buat lingkaran yang berpusat di Q dengan jari-jari OQ

klik intersection points -> klik lingkaran O dan Q

klik label -> R dan S pada kedua titik potong itu

klik hide/show -> klik lingkaran yang berpusat di Q

klik segment -> klik R dan P, klik S dan P

maka garis RP dan SP merupakan Garis singgung melalui titik di luar lingkaran

3. Melukis Garis Singgung Persekutuan Luar.

klik circle -> buat 2 lingkaran -> klik label -> lingkaran 1 dengan pusat O dan lingkaran 2 dengan pusat P

klik segment -> hubungkan titik O dan P -> garis OP

klik midpoint ->> klik segment OP -> klik label -> Q

klik circle -> titik pusat di Q

klik distance or length -> klik titik pusat O dan lingkaran 

klik distance or length -> klik titik pusat P dan lingkaran 

klik calculate -> (r1 = a) - klik (r2=b) -> result-> hasil perhitungannya di drag ke lembar kerja

klik circle -> buat lingkaran yang berpusat di O -> untuk mengetahui langsung jari-jari lingkaran tersebut  -> klik distance or length -> hingga jari-jari = selisih lingkaran O dan P.

klik intersection points -> klik lingkaran berpusat O ; r=0,96 dan lingkaran Q.

klik label -> beri nama R dan S pada perpotongan kedua lingkaran itu.

klik hide/show -> klik lingkaran Q dan lingkaran O

klik segment -> OS dan OR -> intersection points  lingkaran O dan kedua garis OS dan OR

klik label -> beri nama T dan U pada kedua perpotongan garis OS dan Or dengan lingkaran

buat lingkaran dengan pusat S dan berjari-jari SP -> intersection points -> lingkaran S dan lingkaran P -> label -> beri nama V dan W pada perpotongan kedua lingkaran itu.

hide/show lingkaran S

buat lingkaran dengan pusat R dan berjari-jari RP -> intersection points -> klik lingkaran R dan P -> label -> beri nama X dan Y pada perpotongan kedua lingkaran itu -> hide/show lingkaran R.

segment -> TX -> OP -> UY -> XP -> YP.

hapus titik-titik yang tidak perlu (titik W)

Maka terbentuklah garis singgung persekutuan luar dua lingkaran yang berpusat  di (O,P)

4. Melukis Garis Singgung Persekutuan Dalam

klik circle -> buat 2 lingkaran dengan jari-jari berbeda -> klik label -> pusat O dan P

klik midpoint -> buat titik tengah garis OP -> klik label -> Q.

klik circle -> buat lingkaran dengan pusat Q berjari-jari PQ 

untuk mengetahui panjang jari-jari lingkaran O dan P klik distance or length -> klik lingkaran O dan pusatnya O maka akan muncul (r1) -> klik lingkaran P dan pusatnya P maka akan muncul nilai jari-jarinya

tambahkan jari-jari lingkaran O dan P dengan klik calculate -> klik jari-jari kedua lingkaran tersebut -> drag result ke lembar kerja 

klik circle -> buat lingkaran dengan pusat O dan panjang jari-jari = hasil penjumlahan jari-jari lingkaran O dan P(O r2) -> klik distance or length -> klik lingkaran O r2 sehingga muncul nilai jari-jarinya -> untuk mengubah lingkaran itu agar jari-jarinya sama dengan hasil penjumlahan kedua lingkaran O r1 dan P klik pointer -> drag lingkaran itu agar jari-jarinya sesuai

buat titik potong lingkaran O r2 dan lingkaran Q -> klik intersection points -> klik lingkaran O r2 dan lingkaran Q -> klik label -> beri label R dan S.

klik segment -> klik O dan = garis OR -> klik O dan S -> garis OS.

klik intersection points -> O r1 dan OR -> O r1 dan OS -> klik label -> beri label T dan U.

klik hide/show -> klik lingkaran Q dan lingkaran O r2.

 klik circle -> buat lingkaran pusat T jari-jari RP dan pusat U jari-jari SP

klik intersection points -> lingkaran U dan P dan lingkaran T dan P

klik label -> beri label V dan W pada perpotongan kedua lingkaran itu.

klik segment -> buat garis TV, UW, PV dan PW.

klik segment -> buat garis OT dan OU.

klik hide/show -> klik lingkaran U, lingkaran T, garis OR dan OS , Number Distance or Length, titik perpotongan kedua lingkaran yang lain.

Maka Garis Singgung persekutuan Dalam adalah garis TV dan UW.

Penggunaan Microsoft mathematics

Pada pembahasan kali ini, kita hanya akan mempelajari cara pengerjaan statistic dan calculus.

Mean (nilai rata-rata)

untuk menghitung Mean dari data 34 45 57 45 76 98 67 89 43 10000 gunakan langkah berikut :

statistics -> mean -> insert data (masukkan data yang akan dihitung -> ok -> enter

Maka outputnya akan seperti gambar disamping

(ketika ada 1 data yang meningkat maka tidak bisa di gunakan mean secara langsung. Maka gunakan standar deviasi, data yang bagus adalah data yang standar deviasinya mendekati 0).    

Median (nilai Tengah)

Untuk menghitung median dari data 34 45 57 45 76 98 67 89 43 10000 gunakan langkah berikut :

klik Mean pd lembar worksheet -> copy to input-> paste -> meannya ganti dengan median -> enter

Maka outputnya akan seperti gambar disamping

(Berdasarkan hasil perhitungan mediannya adalah 62, padahal tidak ada nilai 62 disana, seharusnya Median disebut  57 dan 67). 

Modus (Nilai yang paling sering muncul)

Untuk menghitung modus dari data 34 45 57 45 76 98 67 89 43 10000 gunakan langkah berikut :

klik Mean pd lembar worksheet -> copy to input-> meannya ganti dengan Mode -> Enter

 Maka outputnya akan seperti gambar disamping

Max(Nilai Terbesar dalam data)

Untuk menghitung max dari data 34 45 57 45 76 98 67 89 43 10000 gunakan langkah berikut :

klik Mean pd lembar worksheet -> copy to input-> meannya ganti dengan Max -> Enter

 Maka outputnya akan seperti gambar disamping

Calculus

Untuk menghitung nilai suatu integral gunakan langkah berikut :

klik Integral ⟶ calculus ⟶ input data(masukkan data yang akan dihitung) ⟶ enter   

maka outputnya akan sepert igambar disamping.

Kalkulus Integral

pindah ke graphing-> klik equation and function-> pilih 3D -> cartesian -> lalu masukkan data yang akan dihitung -> enter

Maka outputnya dalam worksheet akan muncul seperti gambar disamping.

Menggambar grafik parabola y² = 2px dan y² = -2px

klik Graphing -> equation and function ( kolom 1 untuk memasukkan persamaan y² = 2px dan kolom 2 untuk persamaan y² = -2px ) -> 2D-> cartesian-> Graph

Maka output yang akan muncul pada lembar worksheet akan muncul seperti gambar disamping.

Menghitung dan Menggambar grafik sin(90) + cos(90)

klik Trigonometry -> masukkan nilai pada kolom input sin(90) + cos(90) -> enter

Maka output yang akan muncul pada lembar worksheet akan muncul seperti gambar disamping.

pindah ke graphing -> klik equation and functions -> masukkan persamaan sin(90) + cos(90) -> 2D -> Polar -> Graph

Maka output yang akan muncul pada lembar worksheet akan muncul seperti gambar disamping.

Menggambar 4 – 4 sin(ϴ)

pindah ke graphing -> klik equation and functions -> masukkan persamaan 4 – 4 sin(ϴ) -> 2D -> Polar -> Graph

Maka output yang akan muncul pada lembar worksheet akan muncul seperti gambar disamping.

GEOGEBRA

1. Membuat Lingkaran Dalam Segitiga

Langkah - langkah :

1. Buat segitiga ABC

     2.   Buat garis bagi sudut CAB dan ABC 

    3.  Buat lingkaran dengan pusat titik D (perpotongan garis bagi sudut CAB dan ABC) dan menyinggung garis a

2.  Membuat Lingkaran Luar Segitiga

Langkah - langkah :

      1.   Buat Segitiga ABC

     2.    Buat garis sumbu (garis tengah tegak lurus garis a dan b )

     3.   Buat lingkaran dengan pusat D ( perpotongan garis sumbu ) dan jari-jari DB

3. Luas Bidang

 Langkah - langkah :

   1.   Buat bidang seperti gambar dibawah ini:

   

2.   Hubungkan titik E dan G

   3.   Buat garis sejajar antara garis g dengan titik F

   4.   hubungkan titik H (perpotongan garis sejajar dengan garis AD) dengan titik G

   5.   Buat poligon ABGFEA

   6.   Buat poligon AHGBA

  7. Luas poligon ABGFEA dan poligon AHGBA sama